Pujsza był absolwentem szkoły aktorskiej i filmowej w Łodzi. Na scenie zadebiutował w kwietniu 1984 roku. Grał w teatrach w Legnicy, Gnieźnie, Bydgoszczy i Szczecinie.
W poznańskim Teatrze Muzycznym podziwiany był w klasycznych operetkach, takich jak "Wesoła wdówka" i "Zemsta nietoperza" oraz w musicalach, między innymi "Phantom" i "Człowiek z La Manchy". Ostatnio widzowie mogli podziawiać jego kunszt w przedstawieniach "Skrzypek na dachu" oraz "Jekkyl i Hyde".
Z powodu choroby artysta musiał zrezygnować z występów w spektaklu "Zakonnica w przebraniu".
W archiwum poznańskiego radia zachowały się liczne nagrania z udziałem Arnolda Pujszy, w tym w serii słuchowisk "Baśnie Andersena" w reżyserii Roberta Mirzyńskiego.